A matematikában a topológiai tér egy részhalmazát sehol sem nevezik sűrűnek vagy ritkanak, ha a lezárásának üres a belseje. Nagyon laza értelemben ez egy olyan készlet, amelynek elemei nincsenek szorosan csoportosítva sehol. Például az egész számok sehol sem sűrűek a valós számok között, míg a nyitott labda nem.
1 N sehol sem sűrű?
Példa egy olyan halmazra, amely nem zárt, de még sehol sem sűrű: {1n|
∈N}. Van egy határpontja, amely nincs benne a halmazban (mégpedig 0), de a lezárása még mindig sehol sem sűrű, mert egyetlen nyitott intervallum sem fér el az {1n|n∈N}∪{0}-on belül.
Hogy bizonyítja be, hogy egy halmaz sehol sem sűrű?
Az A ⊆ X részhalmazt sehol sem nevezzük sűrűnek a X-ben, ha A záródásának belseje üres, azaz (A)◦=∅. Másképp fogalmazva, A sehol sem sűrű, ha egy zárt halmazban van, üres belsővel. A komplementerekre áttérve ekvivalens módon azt mondhatjuk, hogy A sehol sem sűrű, ha komplementere sűrű nyílt halmazt tartalmaz (miért?).
Mit jelent az, hogy mindenhol sűrű?
Az X topológiai tér A részhalmaza sűrű, amelyre a lezárás a teljes X tér (egyes szerzők mindenhol sűrűn használják a terminológiát). Egy általános alternatív definíció: egy A halmaz, amely metszi X minden nem üres részhalmazát.
Minden sűrű készlet nyitva van?
Egy X topológiai tér akkor és csak akkor van hiperösszekötve, ha minden nem üres nyitott halmaz sűrű X-ben. A topológiai tér akkor és csak akkor szubmaximális, haminden sűrű részhalmaz nyitva van.
