Általában minden mátrix esetében a sajátvektorok NEM mindig ortogonálisak. Egy speciális mátrixtípusnál, a szimmetrikus mátrixnál azonban a sajátértékek mindig valósak, a megfelelő sajátvektorok pedig mindig ortogonálisak.
A sajátértékek sajátvektorai mindig ortogonálisak?
Nem feltétlenül minden merőleges. Azonban két különböző sajátértéknek megfelelő sajátvektor ortogonális. pl. Legyen X1 és X2 egy A mátrix két sajátvektora, amelyek megfelelnek a λ1 és λ2 sajátértékeknek, ahol λ1≠λ2.
Minden szimmetrikus mátrixnak van ortogonális sajátvektora?
Ha egy A szimmetrikus mátrix összes sajátértéke különbözik, akkor az X mátrixnak, amelynek oszlopai a megfelelő sajátvektorok vannak, az a tulajdonsága, hogy X X=I, azaz X egy ortogonális mátrix.
Lehetnek egy nem szimmetrikus mátrixnak ortogonális sajátvektorai?
A szimmetrikus problémával szemben a nem szimmetrikus mátrix a sajátértékei nem alkotnak ortogonális rendszert. … Végül, a harmadik különbség az, hogy egy nem szimmetrikus mátrix sajátértékei összetettek lehetnek (ahogyan a megfelelő sajátvektorok is).
A sajátvektorok lineárisan függetlenek?
A különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok lineárisan függetlenek. Következésképpen, ha egy mátrix összes sajátértéke különbözik, akkor a hozzájuk tartozó sajátvektorok átfogják azon oszlopvektorok terét, amelyekhez aa mátrix oszlopai tartoznak.
