Legyen P G Sylow p-alcsoportja. … Ha G egyszerű, akkor 10 3. rendű alcsoportja és 6 5. rendű alcsoportja van. Mivel azonban ezek a csoportok minden ciklikus elsőrendű, G bármely nem triviális eleme legfeljebb egy ilyen csoportban található.
A P csoportok ciklikusak?
A triviális csoport az egyetlen sorrendi csoport, és a ciklikus csoport a C p az egyetlen p.
Ciklikusak az alcsoportok?
Tétel: a ciklikus csoport minden alcsoportja ciklikus. Ha G=⟨a⟩ ciklikus, akkor |G| minden d osztójára pontosan egy d rendű alcsoport létezik, amelyet a|G|/d a | generálhat G | / d. Bizonyítás: Legyen |G|=dn | G |=d n.
Normálisak a P Sylow alcsoportok?
Ha G-nek pontosan egy Sylow p-alcsoportja van, normálisnak kell lennie abból, hogy egy adott sorrend egyedi alcsoportja Normal. Tegyük fel, hogy egy Sylow P-alcsoport normális. Ekkor megegyezik a konjugátumaival. Így a Harmadik Sylow-tétel szerint csak egy ilyen Sylow p-alcsoport lehet.
A sylow P-alcsoportok Abeli-ek?
Bizonyítjuk, hogy egy véges G csoport Sylow p-alcsoportjai abelian akkor és csak akkor, ha a G p-elemeinek osztályméretei mindegyike p-re esik, és, ha p ∈ { 3, 5 }, akkor a G fő p-blokkjában minden irreducibilis karakter fokszáma p-re koprím.