Megjegyzés: igaz, hogy minden korlátos sorozat tartalmaz egy konvergens részsorozatot, sőt, minden monoton sorozat akkor és csak akkor konvergál, ha korlátos. Hozzáadva A korlátos monoton sorozatok garantált konvergenciájáról további információért lásd a monoton konvergencia tétel bejegyzését.
Minden korlátos sorozat konvergál R-ben?
A tétel kimondja, hogy a R minden korlátos sorozata konvergens részsorozattal rendelkezik. Egyenértékű megfogalmazás az, hogy az R részhalmaza Aakkor és csak akkor szekvenciálisan tömör, ha zárt és korlátos. A tételt néha szekvenciális tömörségi tételnek is nevezik.
Minden korlátos valós számsorozat konvergens?
Válasz és magyarázat: (a) Minden korlátos sorozat konvergens? Nem.
Minden korlátos monoton sorozat konvergál?
Nem minden korlátos sorozat, mint például (-1)n, konverge, de ha tudnánk, hogy a korlátos sorozat monoton, akkor ez megváltozna. ha an ≥ an+1 minden n ∈ N esetén. Egy sorozat monoton, ha növekvő vagy csökkenő. és korlátos, akkor konvergál.
Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata?
A Bolzano-Weierstrass-tétel: Rn-ben minden korlátos sorozatnak van egy konvergens részsorozata. Az {xmk } sorozata valós számok korlátos sorozata, így ennek is van egy konvergens részsorozata, … Ezzel szemben minden korlátos sorozat egyzárt és korlátos halmaz, tehát konvergens részsorozata van.
